足球上的半徑為1單位的足球的疑問 - 足球

By Irma
at 2006-10-03T00:00

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半徑為1單位的足球，球面上每個五邊形和六邊形的面積各是多少？

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By Andy
at 2006-10-06T05:00

給“bdref43＂：
應該要算球面上的面積，而非平面的面積吧。
2006-10-04 20:02:05 補充：
一、單位球上多邊形面積的求法：若n邊形的n個內角為A1,A2,…,An則面積為A1+A2+…+An-(n-2)π二、正n邊形的，內角為A，內切圓半徑r則cos(r)=cos(A/2)/sin(π/n)三、足球的圖形為：一個正二十面體為20個正三角形組成，每個頂點有5個正三角形相接。將12個頂點切去，使正三角形切成正六邊形，切出來的截面積為正五邊形，再投影到球面上，就是足球的圖形。四、正二十面體投影到球面上為二十個球面三角形，每個內角為2π/5，則內切球半徑為(√15+√3)/6將三角形切成六邊形後，內切球半徑不變，可以推得六邊形之內角為arccos[(-9+√5)/12]五邊形內角為2π減掉兩倍六邊形內角。為arccos[(7-9√5)/36]五、所以五邊形面積為5*arccos[(7-9√5)/36]-3π≒0.295072六邊形面積為6*arccos[(-9+√5)/12] -4π≒0.451275

By Freda
at 2006-10-07T19:18

請參閱:http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=120609...
2006-10-04 14:17:05 補充：
上面計算不對.s的弧角為2asin(0.224/2),弧長為v=2asin(0.224/2)=0.224,五邊形邊至中心點的弧角為t=2asin(0.154/2)=0.154,等腰三角形的球面面積=積分(2v-v*tan(Pi/5)/2)rdt)=2*0.224*0.154-0.577*0.154*0.224/2=0.0567,故五邊形的球面面積=0.284.同理六邊形中正三角形高的弧角為0.194,積得正三角形的球面面積=0.0748,故六邊形的球面面積=0.449.整個球面面積=12*0.28+20*0.449=12.388,而4*3.14=12.56,夠接近了.

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