請教2題數學Sin^3x+cos^3x=1 - 撞球

By Heather
at 2010-03-13T00:00

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請教2題數學
Sin^3 x+cos^3 x=1 求 Sin x+cos x＝？
某撞球單打比賽，規定每位選手必須和所有其他選手各比賽一場，賽程總共91場，求選手人數？

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By Andrew
at 2010-03-14T20:18

Q1.sin^3 x+cos^3 x=1 求 sin x+cos x＝？
sol:
(1)
設sin x+cos x＝t
(sin x+cos x)^2＝sin^2 x+cos^2 x +2sin x*cos x＝t^2
1+2sin x*cos x＝t^2
sin x*cos x=(t^2-1)/2
(2)
sin^3 x+cos^3 x=(sin x+cos x)^3-3sin x*cos x*(sin x+cos x)
1=t^3-3*[(t^2-1)/2]*t
t^3-3t+2=0
(t-1)^2(t+2)=0
t=1 or -2(不合)......................(!)
(!)正餘弦疊合:(sin x+cos x有限制)
sin x+cos x
=√2*[(1/√2)*sin x+(1/√2)*cos x]
=√2(cos 45*sin x+sin 45*cosx)
=√2sin(x+45)
-1<=sin(x+45)<=1
-√2<=√2sin(x+45)<=√2
-√2<=sin x+cos x<=√2
Ans:1
Q2.某撞球單打比賽，規定每位選手必須和所有其他選手各比賽一場，賽程總共91場，求選手人數？

sol:
設選手人數=n
兩兩比賽一場,且不重複組合
C(n,2)=91
n!/2!*(n-2)!=91
n(n-2)-2*91=0
n^2-n-182=0
(n-14)(n+13)=0
n=14 or -13(不合)
Ans:14人
2010-03-14 00:46:17 補充：
Hi!
Wy~大
第一題
(1)
"由立方和公式知
(sin x+cos x)(sin² x+sin x*cos x+cos² x)=1"
==>立方和公式你不對喔!
應為(sin x+cos x)(sin² x"-"sin x*cos x+cos² x)
那後續就....???
(2)"a[(a)²-1]/2=1
a³-a-2=0"
==>展開也不對喔!
看看囉~
^_^
2010-03-14 00:50:49 補充：
筆誤~
"n(n-2)-2*91=0"
應為
n(n-1)-2*91=0
^_^

By Erin
at 2010-03-16T01:33

第一題
sin³ x+cos³ x=1
由立方和公式知
(sin x+cos x)(sin² x+sin x*cos x+cos² x)=1
由平方關係知
(sin x+cos x)(sin x*cos x+1)=1
∵ 2sin x*cos x=(sin x+cos x)²-sin² x-cos² x
=(sin x+cos x)²-1
∴ (sin x+cos x)(sin x*cos x+1)=(sin x+cos x)[(sin x+cos x)²-1]/2
令 sin x+cos x=a
a[(a)²-1]/2=1
a³-a-2=0
由三次方程公式知
a有一根:1
第二題
其實這就跟n個點有幾條連線一樣
如果有n個點
每個點都要連到另外(n-1)個點
而每兩個點之間都連兩次
所以連線數=n(n-1)/2=91
解出n=14or-13(負不合)

請教2題數學Sin^3x+cos^3x=1 - 撞球

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