我今年是高二，正在學「二元一次方程式與圖形」。某天正在算下面這一題：
某人在一方形撞球檯，想將在A的母球經兩次反射擊中B位置的色球。為方便分析，他設立一個直角坐標系，原點在左下角的O點，若A點的座標系為(1，1)，B點的座標為(3，2)，桌球上緣方程式為y=4，則第一次反射到第二次反射之間的路徑方程式為何？
這題不難，答案是9x+2y-23=0。但是我突然想到一題延伸：如果反彈三次的話，第一次反射到第二次反射之間路徑的方程式，和第二反射到第三次反射之間路徑的方程式，各為多少？
這題是自己想到的，或許無解，但若有解，還請大家幫忙算一下。
(算出來後我可能又會想，反彈四次的問題 =v=b )
某人在一方形撞球檯，想將在A的母球經兩次反射擊中B位置的色球。為方便分析，他設立一個直角坐標系，原點在左下角的O點，若A點的座標系為(1，1)，B點的座標為(3，2)，桌球上緣方程式為y=4，則第一次反射到第二次反射之間的路徑方程式為何？
這題不難，答案是9x+2y-23=0。但是我突然想到一題延伸：如果反彈三次的話，第一次反射到第二次反射之間路徑的方程式，和第二反射到第三次反射之間路徑的方程式，各為多少？
這題是自己想到的，或許無解，但若有解，還請大家幫忙算一下。
(算出來後我可能又會想，反彈四次的問題 =v=b )
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C1(c1, 4), C2(c2, 0), C3(c3, 4), C4(c4, 0), ...
斜率 AC1 = C2C3 = C4C5 = ... = m
斜率 C1C2 = C3C4 = C5C6 = ... = -m
垂直的全長 = 3 + 4(n - 1) + 2 = 4n + 1
水平的全長 = 2
所以 m = (4n + 1)/2
由 AC1, 得 (4 - 1)/(c1 - 1) = (4n + 1)/2, 即
c1 = (4n + 7)/(4n + 1) . . . . . . . . (i)
由 C1C2, 得 (4 - 0)/(c1 - c2) = -(4n + 1)/2, 即
c2 = (4n + 15)/(4n + 1) . . . . . . . (ii)
由 C1C3, 得 (4 - 0)/(c3 - c2) = (4n + 1)/2, 即
c3 = (4n + 23)/(4n + 1) . . . . . . . (iii)
. . .
若母球經兩次反射擊中色球, 則 n = 2, 從 (i), (ii), 得
c1 = 15/9, c2 = 23/9 m = -9/2
所以路徑 C1C2 方程式為
(y - 0) = -(9/2) * (x - 23/9)
==> 9x + 2y - 23 = 0
若母球經三次反射擊中色球, 則 n = 3, 從 (i), (ii), (iii) 得
c1 = 19/13, c2 = 27/13, c3 = 35/13
路徑 C1C2 的 m = -13/2, 所以方程式為
(y - 0) = -(13/2) * (x - 27/13)
==> 13x + 2y - 27 = 0
路徑 C2C3 的 m = 13/2, 所以方程式為
(y - 0) = (13/2) * (x - 27/13)
==> 13x - 2y - 27 = 0
若母球經四次反射擊中色球, 則 n = 4, m = 17/2
c1 = 23/17, c2 = 31/17, c3 = 39/17, ... (自己試試!)
A球經哪一邊?到哪一邊?
又第一次反射到第二次反射之間的路徑方程式是甚麼?
必須說清楚，最好能給一個或多個圖。
2012-10-28 22:04:57 補充：
撞球檯數學問題這題是自己想到的，或許無解，但若有解，還請大家幫忙算一下。
圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC06918685/o/2012102822...
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2012-10-28 22:09:33 補充：
第5張，n=1之圖中之P應改為A。
2.A邊入射線//B邊反射線
3.A邊反射線//B邊入射線
4.以此類推
全都遵守反射定律~(假設未停止)